傅氏变换理论在电力系统保护中的应用
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摘 要：通过对傅立叶级数（FS）和离散傅立叶变换（DFT）的研究，比较了它们在电力系统故障检测及微机保护中的应用。对含有分次谐波的EMTDC仿真数据进行计算分析，表明分次谐波、衰减直流分量的存在使得基于FS的保护算法存在误差。而增加数据窗长度，可以使基于DFT的保护算法克服分次谐波和衰减直流的影响，对工频量进行较为精确的提取。
目前，电力系统微机保护算法大都基于傅氏级数的概念。将傅氏级数积分公式离散化，用于数值计算。利用傅氏级数可以滤去高次谐波的特点，从采样数据中提取工频分量供保护装置使用。但是，傅氏级数使用的前提是被处理信号为时域周期信号。而实际电力系统中采集的电气量信号，往往不能满足要求。特别是在短路故障暂态过程中，衰减直流分量和分次谐波的存在使得信号的周期性遭到严重破坏。因此，基于傅氏级数的保护算法从原理上存在误差。离散傅氏变换对被处理信号没有限制，为此，本文就离散傅氏变换对含分次谐波和衰减直流分量的信号的处理进行了研究，并对两种算法进行了比较。
2 信号的傅氏分析法 信号的傅氏分析方法针对时域信号的特点共有四种形式，见表1。
四种形式中只有离散傅氏级数（DFS）在时域和频域中都是离散的，可以直接用于数值计算。由于实际计算只能对有限长的离散数据信号进行处理，因此，在DFS基础上推导出了离散傅氏变换（DFT），即有限长序列的傅氏变换。快速傅氏变换（FFT）是计算DFT的一种高效算法。电力系统保护或其它实用场合中都采用FFT算法实现DFT。本文对仿真数据进行DFT计算时，使用的就是FFT算法。
下面着重对FS和DFT进行分析。
对于任何一个以为周期的周期函数x（t），都可以在区间［t0，t0＋T］上表示成无穷多项复指数函数之和。即表示成复指数傅氏级数的形式：
对于工频信号，对应于T=20ms，相应的ω0为工频角频率。也就是说，傅氏级数从概念上讲只能将工频信号分解为以工频角频率为基频的整倍频的频域信号。
有限长序列x（n），n＝0，1，…，N－1的DFT和其反变换IDFT表达式为
这样，长度为有限值的序列被表示成了以2π／N为基频的频域分量。2π／实际上是数字频率的概念，没有明确的物理意义，以弧度为单位，不同于FS公式中的k0，后者以弧度／秒为单位。
3 基于FS和DFT的保护算法的比较 从上面的分析可以看出，FS和DFT两种方法在电力系统保护中的应用是有区别的。基于傅氏级数的保护算法，将电气量视为工频周期信号。因此，理论上仅需一个工频周期长度的数据窗进行计算，并且只能从信号中提取出以k0为基频的整倍频的信号。而基于傅氏变换的保护算法，不认为电气量是周期信号。因此，从概念上将任意长度数据窗的数据都视为一个主值区间的数据进行处理。当对于长度为个工频周期的数据进行计算时，若每工频周期采样点数为，则总序列长度为。此时，DFT认为这个数据是一个主值区间的数据，因此，计算基频分量的采样角频率为2π／N。即基于DFT的保护算法从这个周期的数据中提取的信号以2π／N为基频。也就是说，DFT能够计算k0／整倍数的分次谐波。
为更好地对两种算法进行比较，现以两工频周期的采样数据为例进行说明。FS算法认为电气量信号是周期信号，因此，理论上对两个周期信号进行积分计算同对一个周期数据进行积分，结果是相同的。FS算法和DFT算法对待两周期数据有着本质的不同。FS算法仍将这些数据视为两周期数据对待，因此，离散化公式中采样频率仍然是2π／N（4π／2N）。DFT算法不认为信号是周期性的，因此，视这两周期长度数据为一主值区间数据。这样，公式（3）、（4）中的基频采样频率为π／N（2π／2N）。也就是说，在两周期数据窗下，DFT可以将信号分解为以1／2次谐波为基频的频域信号。即除可计算工频及整次谐波外，还可以计算1／2次，3
／2次等分次谐波。
因此，FS算法可以视为是DFT算法的特例。应用相同长度的数据窗，两者对工频量计算的结果虽然是相同的，但是本质是有区别的。4 暂态过程中的衰减直流分量及分次谐波 电力系统短路故障发生时，会出现暂态分量。暂态分量中主要包含衰减直流分量和整次及分次谐波。在带串联补偿电容的超高压输电线路短路暂态过程中，分次谐波尤为明显。由于衰减直流分量在频域中可表示为连续曲线，所以可认为其含有任意次的谐波分量。
衰减直流分量是在暂态过程中维持电感中电流不发生突变而产生的。其大小与短路发生的时刻有关，最大值和短路电流稳态分量最大值相等。衰减直流分量在任何输电线路短路时都可能存在，所不同的仅是其衰减时间常数不同。
当线路上具有补偿电容时，电网是由电阻、电感和电容组成的串联电路，见图1（讨论低频分次谐波时，可以忽略分布电容的影响）。
在这种情况下，线路发生短路时，电感中的电流和电容上的电压都不能突变，因此产生衰减震荡的分次谐波。在正弦电势作用下，具有电阻、电感和电容串联电路的微分方程是
电容补偿度。由于串补电容仅仅补偿线路感抗的一部分，所以K小于1，因此k′将低于工频角频率，称为低频分量或分次谐波。通常容抗不大于线路感抗的50％。从整个电网来看，容抗所占的比例就更小。取K＝1／2，则k0≈0．707k，所以，通常分次谐波的振荡频率在0．707倍的工频附近或小于此值。
分次谐波的幅值I′m与短路发生的时刻有关。最大值和短路电流稳态分量最大值相等，其衰减时间常数是直流分量的两倍。
5 分次谐波和衰减直流分量对FS和FFT算法的影响
目前，基于傅氏级数的算法在电力系统继电保护中应用广泛。傅氏级数的应用以信号周期连续为前提。但从上面的推导可见，电力系统短路暂态过程中会出现不同程度的直流分量和分次谐波，使信号的周期性受到破坏。因此，衰减直流分量和分次谐波对FS算法的精度都有影响。大量文章就直流分量对FS算法的影响进行了讨论。本文对EMTDC仿真出的带有分次谐波的数据进行了FS计算，以讨论分次谐波的存在对FS算法的影响，得到的结果如表2所示。
表2显示了分次谐波的存在对FS算法计算工频量的精度的影响。在工频信号上分别叠加了与工频量等幅值的3／4次、0．707次、0．6次、0．4次和0．2次分次谐波。从计算结果中看出，对于FS算法，分次谐波的存在对工频量计算精度有较大影响。文章第三部分提到，可以认为衰减直流分量含有任意次的谐波分量。因此，这一结论同样适用于衰减直流对FS算法的影响。
鉴于衰减直流分量在电力系统短路暂态过程中普遍存在，文章用FFT算法对带衰减直流分量的工频信号进行计算，以研究FFT算法的应用。见图2。
图2说明了增加数据窗长度对FFT算法计算工频量精度的影响。信号中含有和工频量幅值相同的衰减直流分量。从计算结果中可以看出，随着数据窗长度的增加，FFT算法能更好地克服衰减直流分量的影响，计算精度逐渐提高。这一结论同样适用于信号中含有分次谐波的情况。
由于用FFT算法需要总的采样点数为2的整次幂。因此，图2中每周采样16点，仅对1、2、4、8周期长度数据窗的情况进行了比较。
5 结论
FS算法是FFT算法的特例。FFT算法除可计算工频及整次谐波分量外，还可以计算分次谐波。因此，可应用于基于分次谐波计算的某些电力系统设备的故障检测。如电动机转子断条、变压器匝间短路等。但它需要的数据窗较长，不适用于快速动作的继电保护装置。
基于FS的电力系统保护算法通过移动数据窗，随着短路暂态信号的衰减，工频量的计算精度得以提高。基于FFT的保护算法，随着数据窗的加长，能更精确的从短路暂态信号中提取工频分量。
衰减直流分量和分次谐波的存在，对两种算法的精度均有影响。但随着数据窗长度的增加，FFT算法计算精度明显提高。
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